בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 48
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC).
הנקודה E נמצאת על הבסיס BC כך ש־BE = 3 · EC. הנקודה D נמצאת על הצלע AC כך ש־ED מאונך ל־AC. הנקודה M נמצאת על הצלע AB כך ש־EM מאונך ל־AB.
נסמן: EC = k, ואת הזווית ∢ABC (בשאלון היא מסומנת באות) – נתון שהיא בין 30 מעלות ל־90 מעלות. כאן נכתוב אותה ∢B.
📄 נוסח השאלה · המשך
א. הביעו באמצעות k ו־∢B את אורכי הקטעים DE ו־ME.
נתון כי סכום שטחי המשולשים CED ו־BEM הוא 1.6k2.
ב. מצאו את הגודל של הזווית ∢B.
נתון כי אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AED הוא 29.
ג. מצאו את הערך של k.
סעיף א – DE ו־ME באמצעות k והזווית
המשולש שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שוות:
📐 משולש שווה שוקיים
∢ACB = ∢ABC = ∢B
הקטעים: EC = k, BE = 3k.
DE: במשולש EDC הזווית D ישרה, EC יתר, ו־DE ניצב מול הזווית C:
sin∢C = DEEC
📐 סינוס במשולש ישר זווית
נציב ∢C = ∢B (זוויות בסיס) ו־EC = k:
📐 משולש שווה שוקיים
זוויות הבסיס שוות
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
סעיף א – DE ו־ME באמצעות k והזווית · המשך
נציב ∢C = ∢B (זוויות בסיס) ו־EC = k:
sin∢B = DEk
DE = k · sin∢B
ME: במשולש EMB הזווית M ישרה, BE יתר, ו־ME ניצב מול הזווית B:
sin∢B = MEBE
📐 סינוס במשולש ישר זווית
נציב BE = 3k:
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
סעיף א – DE ו־ME באמצעות k והזווית · המשך
נציב BE = 3k:
sin∢B = ME3k
ME = 3k · sin∢B
✅ פתרון סופי: DE = k · sin∢B , ME = 3k · sin∢B
סעיף ב – גודל הזווית
נמצא גם את הניצבים השניים.
cos∢C = DCEC
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
נציב ∢C = ∢B ו־EC = k:
cos∢B = DCk
⇒ DC = k · cos∢B
cos∢B = BMBE
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
cos∢B = BMBE
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
נציב BE = 3k:
cos∢B = BM3k
⇒ BM = 3k · cos∢B
שטחי שני המשולשים ישרי הזווית:
SCED = DE · DC2
📐 שטח משולש ישר זווית
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
SCED = DE · DC2
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב DE = k sin∢B ו־DC = k cos∢B:
SCED = k sin∢B · k cos∢B2
SCED = k2 sin∢B cos∢B2
SBEM = ME · BM2
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב ME = 3k sin∢B ו־BM = 3k cos∢B:
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
נציב ME = 3k sin∢B ו־BM = 3k cos∢B:
SBEM = 3k sin∢B · 3k cos∢B2
SBEM = 9k2 sin∢B cos∢B2
הסכום נתון: 1.6k2
SCED + SBEM = 1.6k2
נציב את שני השטחים שמצאנו:
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
נציב את שני השטחים שמצאנו:
k2 sin∢B cos∢B2 + 9k2 sin∢B cos∢B2 = 1.6k2
10k2 sin∢B cos∢B2 = 1.6k2
5k2 sin∢B cos∢B = 1.6k2
נחלק ב־5k2:
sin∢B cos∢B = 0.32
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
sin∢B cos∢B = 0.32
נכפול ב־2:
2 sin∢B cos∢B = 0.64
📐 סינוס של זווית כפולה
נציב 2 sin∢B cos∢B = sin(2∢B):
sin(2∢B) = 0.64
יש שני פתרונות לזווית 2∢B בין 0 ל־180 מעלות:
📐 זוויות עם אותו סינוס
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sinx cosx
📐 זוויות עם אותו סינוס
sin x = sin(180 − x)
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
יש שני פתרונות לזווית 2∢B בין 0 ל־180 מעלות:
📐 זוויות עם אותו סינוס
2∢B ≈ 39.79
או
2∢B ≈ 180 − 39.79
2∢B = 140.21
∢B ≈ 19.9 או ∢B ≈ 70.1
📐 זוויות עם אותו סינוס
sin x = sin(180 − x)
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
∢B ≈ 19.9 או ∢B ≈ 70.1
נתון שהזווית בין 30 ל־90 מעלות, ולכן ∢B ≈ 19.9 נפסל.
✅ פתרון סופי: ∢ABC ≈ 70.1 מעלות
סעיף ג – מציאת k
שלב 1 – אורך AE. במשולש AED הזווית ∢ADE ישרה (ED ⊥ AC). לפי משפט הסינוסים במשולש AED:
AEsin∢ADE = 2R
📐 משפט הסינוסים
נציב ∢ADE = 90 ו־R = 29 (נתון):
AEsin 90 = 2 · 29
AE1 = 58
AE = 58
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ג – מציאת k · המשך
AE = 58
שלב 2 – נבטא את AE באמצעות k. נוריד את הגובה AH לבסיס. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן H אמצע BC:
BC = 3k + k = 4k
📐 משולש שווה שוקיים
BH = HC = 2k
HE = BE − BH
נציב BE = 3k ו־BH = 2k:
📐 משולש שווה שוקיים
הגובה לבסיס הוא גם תיכון
סעיף ג – מציאת k · המשך
נציב BE = 3k ו־BH = 2k:
HE = 3k − 2k = k
במשולש AHB (ישר זווית ב־H):
tan∢B = AHBH
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
נציב BH = 2k:
tan∢B = AH2k
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ג – מציאת k · המשך
tan∢B = AH2k
⇒ AH = 2k · tan∢B
נציב ∢B ≈ 70.1:
AH ≈ 2k · tan 70.1
AH ≈ 2k · 2.7625 ≈ 5.525k
במשולש AHE (ישר זווית ב־H):
סעיף ג – מציאת k · המשך
במשולש AHE (ישר זווית ב־H):
AE2 = AH2 + HE2
📐 משפט פיתגורס
נציב AE = 58 , AH = 2k · tan∢B ו־HE = k:
582 = (2k · tan∢B)2 + k2
3364 = 4k2tan2∢B + k2
3364 = k2(4tan2∢B + 1)
📐 משפט פיתגורס
ניצב2 + ניצב2 = יתר2
סעיף ג – מציאת k · המשך
3364 = k2(4tan2∢B + 1)
נציב tan2∢B ≈ 7.6312:
3364 ≈ k2(4 · 7.6312 + 1)
3364 ≈ 31.525k2
k2 ≈ 336431.525 ≈ 106.71
k ≈ 10.33
סעיף ג – מציאת k · המשך
k ≈ 10.33
(אם מחשבים בלי לעגל את הזווית, יוצא k ≈ 10.328.)
✅ פתרון סופי: k ≈ 10.33
📌 סיכום התשובות
סעיף א
DE = k sin∢B
ME = 3k sin∢B
ME = 3k sin∢B
סעיף ב
≈ 70.1 מעלות
סעיף ג
k ≈ 10.33
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא